Означення критичної точки
Внутрішні точки області визначення функції, у яких її похідна дорівнює нулю або не існує, називаються критичними точками цієї функції.

Алгоритм знаходження проміжків зростання (спадання) функції

Знайти Д(у) для функції y=f(x).
Знайти похідну y'= f'(x)
Знайти критичні точки функції:f'(x)=0.
Позначити знайдені точки на D(у) функції і знайти знак f'(x) у кожному з проміжків,на які розбивається область визначення функції (знак можна визначити, обчисливши значення f'(x) у будь-якій точці проміжку).
Вибрати проміжки, де f'(x)>0, f'(x)<0 та записати проміжки зростання (спадання) з урахуванням неперервності функції на кінцях проміжку.

Приклад. Знайдіть проміжки зростання (спадання) функції y=x⁴- 2x².

Розв’язання .

1. Функція визначена на всій числовій прямій: D(у)=R.

2. Похідна: f'(x)=4x³-4x.

3. Відшукаємо критичні точки: y'(x) існує на всій області визначення.

y'(x)=0, то 4x³-4x=0;

4x(x²-1)=0;

4x(x-1)(x+1)=0;

x₁=0; x₂=1; x₃=-1

4. Знайдемо проміжки монотонності функції:

Відповідь: у(х) зростає на кожному з проміжків: [-1;0] і [1;+∞] ;

у(х) спадає на кожному з проміжків:(-∞;-1] і [0;1].

У кожного в житті бувають злети і падіння, так звані екстремальні ситуації. Виявляється, у функції також є моменти злету і падіння. У неї теж є «екстремальні ситуації» , які називаються екстремуми функції; точки у яких це трапляється називаються екстремальними. Сьогодні ви навчитесь знаходити точки екстремуму й екстремуми функції. Як уникнути або досягти екстремумів у житті, навчить саме життя.

Алгоритм дослідження функції на екстремуми
1) Знайти область визначення функції D(f).
2) Знайти f'(x) і D(f').
3) Знайти критичні точки.
4) Позначити критичні точки на області визначення, знайти знак похідної на кожному проміжку, на які розбивається область визначення.
5) Визначити, чи є критична точка точкою максимуму або мінімуму, чи є точною екстремуму.
6) Знайти екстремуми функції.
Висновок: Не всяка критична точка є точкою екстремуму, але всяка точка екстремуму є критичною точкою.
Приклад: Знайти екстремуми функції y=3x⁴-8x³+6x²-1.
Розв’язання:
1) D(y)=R.
2) y'(x)=12x³-24x²+12x=12x(x²-2x+1)=12x(x-1)².
3) y'(x)=0, то 12x(x-1)²=0; x₁=0, x₂=1 – критичні точки.
4)

5) xmin=0; ymin=-1.

Відповідь: xmin=0; ymin=-1.

Усно: 1. Назвіть точки максимуму і мінімуму функції f(x), графік якої зображено на рисунку

Дослідити задані функції на екстремуми
1) f(x)=12-3x².
Розв’язання:
Функція визначена на всій числовій прямій.
f'(x)=12-3x²;
f'(x)=0, то 12-3x²=0, f'(x)=3(2-x)(2+x) ,тоді x₁=-2; x₂=2.

f(-2)=1-24+8=-15
f(2)=1+24-8=17
Відповідь: xmin=-2, xmax=2
min f(x)=f(-2)=-15, max f(x)=f(2)=17.

2) f(x)=x⁴-2x²-5

Функція визначення на всій числовій прямій.
f'(x)=4x³-4x;
f'(x)=0, якщо x³-4x=0, 4x(x²-1)=0, 4x(x-1)(x+1)=0; x₁=0, x₂=1,x₃=-1.

xmin=-1,1; f(-1)=1-2-5=-6;
f(1)=1-2-5=-6.
xmax=0; f(0)=-5
Відповідь: xmin=±1; xmax=0; minf(x)=f(-1)=f(1)=-6; max f(x)=f(0)=-5 .

Д/З Опрацювати параграф 16, записати в зошит конспект, виконати вправу 16.14

18.03.2020