10 клас
Мета; Точки екстремуму
Означення критичної точки
Внутрішні точки області визначення функції, у яких її похідна дорівнює нулю або не існує, називаються критичними точками цієї функції.
Алгоритм знаходження проміжків зростання (спадання) функції
-
Знайти Д(у) для функції y=f(x).
-
Знайти похідну y'= f'(x)
-
Знайти критичні точки функції:f'(x)=0.
-
Позначити знайдені точки на D(у) функції і знайти знак f'(x) у кожному з проміжків,на які розбивається область визначення функції (знак можна визначити, обчисливши значення f'(x) у будь-якій точці проміжку).
-
Вибрати проміжки, де f'(x)>0, f'(x)<0 та записати проміжки зростання (спадання) з урахуванням неперервності функції на кінцях проміжку.
Знайдіть проміжки зростання (спадання) функції y=x4- 2x2.
1. Функція визначена на всій числовій прямій: D(у)=R.
2. Похідна: f'(x)=4x3-4x. 3. Відшукаємо критичні точки: y'(x)існує на всій області визначення.
y'(x)=0, то 4x3-4x=0; 4x(x2-1)=0; 4x(x-1)(x+1)=0; x1=0,;x2=1 ;x3=-1 4. Знайдемо проміжки монотонності функції:
Рис 3.
Відповідь: у(х) зростає на кожному з проміжків: [-1;0] і [1;+∞] ;
у(х) спадає на кожному з проміжків:(-∞;-1] і [0;1].
-
У кожного в житті бувають злети і падіння, так звані екстремальні ситуації. Виявляється, у функції також є моменти злету і падіння. У неї теж є «екстремальні ситуації» , які називаються екстремуми функції; точки у яких це трапляється називаються екстремальними. Сьогодні ви навчитесь знаходити точки екстремуму й екстремуми функції. Як уникнути або досягти екстремумів у житті, навчить саме життя.
-
Алгоритм дослідження функції на екстремуми
1) Знайти область визначення функції D(f).
2) Знайти f'(x) і D(f').
3) Знайти критичні точки.
4) Позначити критичні точки на області визначення, знайти знак похідної на кожному проміжку, на які розбивається область визначення.
5) Визначити, чи є критична точка точкою максимуму або мінімуму, чи є точною екстремуму.
6) Знайти екстремуми функції.
Висновок: Не всяка критична точка є точкою екстремуму, але всяка точка екстремуму є критичною точкою.
Приклад: Знайти екстремуми функції y=3x4-8x3+6x2-1.
Розв’язання:
1) D(y)=R.
2) y'(x)=12x3-24x2+12x=12x(x2-2x+1)=12x(x-1)2.
3) y'(x)=0, то 12x(x-1)2=0; x1=0, x2=1 – критичні точки.
4)
5) xmin=0; ymin=-1.
Відповідь: xmin=0; ymin=-1.
Осмислення нового матеріалу.
1. Опрацювати параграф 16
2. Записати конспект уроку
3. Виконати номер 16.14
